Công Thức Nguyên Hàm là “bộ từ vựng” bắt buộc nếu bạn muốn làm nhanh bài tập giải tích, đặc biệt ở các câu liên quan đến tích phân. Khi nhớ đúng công thức và hiểu điều kiện áp dụng, bạn sẽ rút ngắn thời gian biến đổi và hạn chế sai sót ở hằng số C. Bài viết này tổng hợp các nhóm nguyên hàm quan trọng, kèm quy tắc đổi biến, từng phần và cách tự kiểm tra đáp án theo hướng dễ học, dễ dùng trong bài thi.
Công Thức Nguyên Hàm là gì và dùng khi nào
Khái niệm nguyên hàm và liên hệ với đạo hàm
Nguyên hàm của một hàm số (f(x)) là hàm (F(x)) sao cho (F'(x)=f(x)) trên một khoảng xác định. Nói cách khác, nếu đạo hàm là “đi từ hàm gốc sang tốc độ biến thiên”, thì nguyên hàm là quá trình “đi ngược lại” để tìm họ hàm ban đầu. Khi làm bài, bạn thường gặp tình huống cần tìm ( \int f(x),dx ), và lúc đó việc nhận dạng dạng hàm sẽ quyết định chọn công thức hay quy tắc biến đổi phù hợp.
Hằng số C và lỗi thường gặp
Một điểm cốt lõi là mỗi nguyên hàm luôn đi kèm “họ nghiệm” do có thể cộng thêm hằng số bất kỳ: (F(x)+C). Nhiều bạn làm đúng phép biến đổi nhưng quên (+C) hoặc ghi sai dấu khiến mất điểm đáng tiếc. Khi dùng Công Thức Nguyên Hàm, hãy coi (+C) là “thói quen bắt buộc” ở kết quả cuối, trừ khi đề bài yêu cầu nguyên hàm riêng thỏa điều kiện ban đầu.
Công Thức Nguyên Hàm cơ bản cần thuộc lòng
Nhóm lũy thừa và đa thức
Với lũy thừa, quy tắc quan trọng nhất là tăng số mũ lên 1 rồi chia cho số mũ mới, với điều kiện (n\neq -1). Bạn nên luyện nhận dạng nhanh đa thức sau khi rút gọn để áp dụng công thức theo từng hạng. Khi học Công Thức Nguyên Hàm cho nhóm này, hãy ưu tiên ghi nhớ theo “mẫu” thay vì học rời rạc từng ví dụ.
Các công thức tiêu biểu:
[
\int xn,dx=\frac{x{n+1}}{n+1}+C \quad (n\neq -1),\qquad
\int k,dx=kx+C
]
[
\int (ax+b),dx=\frac{2}x^2+bx+C,\qquad
\int \frac{1},dx=\ln|x|+C
]
Nhóm mũ và logarit
Hàm mũ thường “đẹp” khi đạo hàm của phần mũ xuất hiện kèm theo, còn logarit hay gặp ở dạng (\frac{f'(x)}{f(x)}). Để tránh nhầm, hãy phân biệt (\ln|x|) (cơ số (e)) và (\log_a x) (cơ số (a)), đồng thời chú ý điều kiện (x>0) khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Nếu bạn đang hệ thống hóa Công Thức Nguyên Hàm, nhóm mũ–log nên được đặt cạnh nhau vì chúng thường chuyển đổi qua lại trong biến đổi.
Các công thức tiêu biểu:
[
\int ex,dx=ex+C,\qquad
\int ax,dx=\frac{ax}{\ln a}+C \ (a>0,a\neq 1)
]
[
\int \ln x,dx=x\ln x-x+C \ (x>0),\qquad
\int \frac{1}{x\ln x},dx=\ln|\ln x|+C
]
Nhóm lượng giác cơ bản
Với lượng giác, bạn cần ghi nhớ cặp “sin–cos” và các dạng (\tan, \cot) thường đi kèm (\ln|\cos x|) hoặc (\ln|\sin x|). Sai lầm hay gặp là nhầm dấu khi nguyên hàm của (\sin x) và (\cos x) chỉ lệch nhau ở dấu âm. Khi áp dụng Công Thức Nguyên Hàm nhóm này, hãy luyện bằng cách đạo hàm ngược lại để tự kiểm tra dấu.
Các công thức tiêu biểu:
[
\int \sin x,dx=-\cos x+C,\qquad
\int \cos x,dx=\sin x+C
]
[
\int \sec2 x,dx=\tan x+C,\qquad
\int \csc2 x,dx=-\cot x+C
]
[
\int \tan x,dx=-\ln|\cos x|+C,\qquad
\int \cot x,dx=\ln|\sin x|+C
]
Công Thức Nguyên Hàm theo quy tắc biến đổi
Đổi biến (đặt (u))
Đổi biến hữu ích khi bạn thấy “hàm bên trong” và “đạo hàm của nó” xuất hiện cùng lúc, ví dụ dạng (f(g(x))g'(x)). Quy trình cơ bản là đặt (u=g(x)), biến đổi (du=g'(x),dx), rồi đưa tích phân về biến (u) để áp dụng công thức quen thuộc. Khi làm nhiều bài, bạn sẽ nhận ra Công Thức Nguyên Hàm thường chỉ là bước cuối, còn thành công nằm ở việc chọn (u) đúng.
Ví dụ nhanh:
[
\int (2x+1)e^{x2+x},dx
]
Đặt (u=x2+x\Rightarrow du=(2x+1),dx), suy ra (\int eu,du=eu+C=e^{x^2+x}+C).
Nguyên hàm từng phần
Từng phần dùng tốt khi tích phân là tích của hai biểu thức mà đổi biến không “gọn”, đặc biệt là đa thức nhân mũ, đa thức nhân lượng giác, hoặc (\ln x) nhân biểu thức đơn giản. Công thức:
[
\int u,dv=uv-\int v,du
]
Để chọn (u), mẹo phổ biến là ưu tiên biểu thức “giảm độ phức tạp” khi lấy đạo hàm, như (\ln x) hoặc đa thức. Nếu bạn đang luyện Công Thức Nguyên Hàm cho phần này, hãy tập thói quen viết rõ (u, dv, du, v) để tránh nhầm dấu trừ.
Ví dụ nhanh:
[
\int x ex,dx
]
Chọn (u=x\Rightarrow du=dx), (dv=ex dx\Rightarrow v=ex), được (xex-\int ex dx=xex-ex+C=ex(x-1)+C).
Tách, rút gọn và phân tích trước khi tính
Nhiều bài nhìn “khó” chỉ vì chưa tách đúng: khai triển, đặt nhân tử chung, hoặc phân tích thành tổng các phân thức đơn giản. Hãy ưu tiên biến đổi đại số trước, vì tích phân của tổng bằng tổng các tích phân, giúp bạn đưa về các mẫu cơ bản. Khi dùng Công Thức Nguyên Hàm trong dạng này, điều quan trọng là không vội áp công thức khi biểu thức còn rối.
Ví dụ, với (\int \frac{x2+1},dx), hãy tách thành (\int (x+\frac{1})dx) rồi tính từng phần để ra (\frac{x2}{2}+\ln|x|+C).
Công Thức Nguyên Hàm hay gặp trong đề thi
Mẫu (\frac{f'(x)}{f(x)}) và biến thể
Đây là mẫu “nhìn thấy là nghĩ tới log”, vì (\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C). Bạn sẽ gặp mẫu này trong phân thức, lượng giác, và cả bài biến đổi mũ–log. Khi luyện Công Thức Nguyên Hàm, hãy tự hỏi: “Trong tử có giống đạo hàm của mẫu không?” trước khi chọn phương pháp.
Ví dụ nhanh:
[
\int \frac{2x}{x2+5},dx=\ln(x2+5)+C
]
vì đạo hàm (x^2+5) là (2x).
Mẫu dạng (\frac{f'(x)}{a^2+f(x)2}) và (\frac{f'(x)}{\sqrt{a2-f(x)^2}})
Hai mẫu này thường dẫn về (\arctan) hoặc (\arcsin), tùy dấu trong mẫu số. Cụ thể:
[
\int \frac{f'(x)}{a^2+f(x)2},dx=\frac{1}\arctan\left(\frac{f(x)}\right)+C
]
[
\int \frac{f'(x)}{\sqrt{a2-f(x)^2}},dx=\arcsin\left(\frac{f(x)}\right)+C
]
Khi dùng Công Thức Nguyên Hàm cho hai mẫu này, bạn cần kiểm tra đúng dạng “cộng” hay “trừ” để tránh chọn nhầm hàm ngược.
Mẫu căn thức và lượng giác hóa
Một số bài có (\sqrt{a2-x2}), (\sqrt{x2-a2}) hoặc (\sqrt{x2+a2}) sẽ thuận lợi nếu đặt (x=a\sin t), (x=a\sec t), hoặc (x=a\tan t). Tuy nhiên, trong đề phổ thông, nhiều bài chỉ cần đổi biến đơn giản hoặc rút gọn trước khi lượng giác hóa. Để học Công Thức Nguyên Hàm hiệu quả, hãy xem lượng giác hóa như “phương án B” khi các cách tách và đổi biến không chạy.
Công Thức Nguyên Hàm: Cách học nhanh và kiểm tra kết quả
Cách ghi nhớ theo cụm và theo dấu
Thay vì học 20 công thức rời, bạn nên học theo cụm: (1) lũy thừa–(\frac{1}), (2) mũ–log, (3) lượng giác, (4) mẫu log dạng (\frac{f’}), (5) mẫu (\arctan/\arcsin). Khi ôn, hãy ghi chú “dấu âm” ở (\int \sin x dx) và (\int \csc^2 x dx) vì đây là nơi hay sai nhất. Nếu xây bảng riêng cho Công Thức Nguyên Hàm, hãy thêm một cột “đạo hàm để kiểm tra” để bạn tự soát ngay.
Tự kiểm tra bằng đạo hàm trong 10 giây
Sau khi ra đáp án (F(x)+C), hãy đạo hàm nhanh (F'(x)) và so với đề. Nếu lệch một hệ số, thường là do bạn quên chia cho số mũ mới, quên (\ln a) ở (a^x), hoặc chọn sai dấu ở lượng giác. Thói quen này giúp bạn dùng Công Thức Nguyên Hàm chắc tay hơn và giảm đáng kể lỗi “nhìn không ra sai” khi làm bài tốc độ bên cạnh xemayanhloc.
Chiến lược làm bài khi gặp tích phân lạ
Khi gặp tích phân chưa quen, hãy đi theo 3 bước: rút gọn biểu thức, nhận dạng mẫu (mũ–log–lượng giác–phân thức), rồi mới quyết định đổi biến hay từng phần. Nếu sau 1–2 phép biến đổi mà biểu thức “đẹp” lên, bạn đang đi đúng hướng; ngược lại, hãy thử lựa chọn đặt biến khác hoặc tách hạng. Kiên trì theo chiến lược này sẽ khiến Công Thức Nguyên Hàm trở thành công cụ thực chiến chứ không chỉ là phần học thuộc.
Trâm Anh là tác giả chính của trang web Xe Máy Anh Lộc . Với ngòi bút sắc sảo và am hiểu sâu về xe máy, cô chuyên viết review chi tiết, đánh giá xe cũ, hướng dẫn mua bán, tập trung vào các dòng tay ga phổ biến như Honda SH, Air Blade, Liberty. Nội dung thực tế, hữu ích, giúp người đọc đưa ra quyết định sáng suốt.