Bảng Đạo Hàm là công cụ tra cứu nhanh các công thức đạo hàm thường gặp, giúp bạn làm bài khảo sát hàm số, tiếp tuyến và tối ưu hiệu quả hơn. Khi hệ thống đúng theo nhóm, bạn không phải “nhớ rời rạc” mà chỉ cần nhận dạng dạng hàm rồi áp dụng quy tắc tương ứng. Bài viết này tổng hợp các công thức cốt lõi, kèm lưu ý điều kiện xác định để hạn chế sai sót.
Bảng Đạo Hàm là gì và dùng như thế nào?
Vai trò trong bài toán giải tích
Bảng Đạo Hàm là danh sách công thức đã chuẩn hóa cho những dạng hàm phổ biến, từ lũy thừa đến lượng giác và logarit. Nó được dùng ở hầu hết bài toán lớp 11–12: xét đơn điệu, tìm cực trị, viết phương trình tiếp tuyến, hoặc giải phương trình liên quan đến (y’). Để dùng đúng, bạn cần xác định miền của hàm số trước rồi mới thay công thức, vì đạo hàm chỉ có nghĩa trên miền xác định.
Cách học “thuộc” để không bị nhầm dấu
Thay vì học vẹt từng dòng, hãy học theo ba lớp: công thức cơ bản, quy tắc tính (tích–thương–chuỗi), và điều kiện đi kèm. Mỗi lần gặp biểu thức mới, bạn tự hỏi “đây là dạng gì” và “có lớp trong (u(x)) không”, rồi mới tính. Làm theo quy trình này giúp bạn tránh lỗi quên nhân (u'(x)) hoặc nhầm dấu âm của (\cos x).
Bảng công thức đạo hàm cơ bản
Nhóm lũy thừa, phân thức và căn
Nhóm này xuất hiện dày đặc trong đề, nên bạn nên ưu tiên nắm chắc quy tắc lũy thừa và cách đưa căn về lũy thừa phân số. Khi (n) không nguyên, hãy chú ý miền xác định để tránh kết luận sai ở bước xét dấu hoặc tìm nghiệm. Nếu biểu thức là phân thức, bạn luôn ghi nhớ điều kiện mẫu khác 0 trước khi tính đạo hàm.
| Hàm số (y) | Đạo hàm (y’) | Điều kiện/lưu ý |
|---|---|---|
| (c) | (0) | (c) hằng số |
| (x^n) | (n x^) | xét miền khi (n\notin\mathbb) |
| (\frac{1}) | (-\frac{1}{x^2}) | (x\neq 0) |
| (\sqrt) | (\frac{1}{2\sqrt}) | (x>0) |
Nhóm lượng giác cơ bản
Với lượng giác, lỗi thường gặp là sai dấu ở đạo hàm của (\cos x) và (\cot x). Bạn nên nhớ theo “vòng quay”: (\sin) sang (\cos), còn (\cos) sang (-\sin), từ đó suy ra các công thức còn lại. Khi hàm có dạng (\sin(u)) hay (\tan(u)), bạn chỉ cần thay (x) bằng (u) rồi nhân thêm (u’).
| Hàm số (y) | Đạo hàm (y’) |
|---|---|
| (\sin x) | (\cos x) |
| (\cos x) | (-\sin x) |
| (\tan x) | (\sec^2 x) |
| (\cot x) | (-\csc^2 x) |
Đạo hàm hàm mũ và logarit
Công thức cần nhớ và điều kiện
Bảng Đạo Hàm thường coi (ex) là mốc vì đạo hàm “giữ nguyên dạng”, giúp bạn kiểm tra nhanh tính hợp lý của kết quả. Với (ax), đạo hàm là (a^x\ln a) và yêu cầu (a>0, a\neq 1), nên bạn đừng bỏ quên nhân tử (\ln a). Với (\ln x), điều kiện (x>0) rất quan trọng, nhất là khi bạn biến đổi sang (\ln|u|) trong các bài có trị tuyệt đối.
| Hàm số (y) | Đạo hàm (y’) | Điều kiện |
|---|---|---|
| (e^x) | (e^x) | mọi (x) |
| (a^x) | (a^x\ln a) | (a>0, a\neq 1) |
| (\ln x) | (\frac{1}) | (x>0) |
| (\log_a x) | (\frac{1}{x\ln a}) | (x>0, a>0, a\neq 1) |
Quy về (\ln) để giảm “gánh nhớ”
Khi gặp (\log_a(u)), bạn có thể viết (\log_a(u)=\frac{\ln u}{\ln a}) rồi đạo hàm theo quy tắc chuỗi. Cách này giúp bạn thống nhất thao tác và giảm nguy cơ nhầm giữa (\ln a) ở mẫu hay ở tử. Với (\ln(u)), hãy nhớ kết quả luôn có dạng (\frac{u’}), nên chỉ cần tính đúng (u’) là xong.
Quy tắc tính đạo hàm cho biểu thức phức tạp
Tích, thương và chuỗi
Với tích (uv), công thức đúng là (u’v+uv’), và bạn nên viết đủ hai hạng trước khi rút gọn để tránh thiếu hạng. Với thương (\frac), công thức (\frac{u’v-uv’}{v^2}) dễ sai dấu trừ, nên hãy giữ dạng “trên đạo hàm nhân dưới trừ trên nhân dưới đạo hàm” cho nhất quán. Với hợp hàm, bạn đặt (y=f(u)) rồi tính (y’=f'(u)\cdot u’), trong đó (f'(u)) lấy theo công thức cơ bản nhưng thay (x) bằng (u).
Hàm ẩn và tham số
Khi (x) và (y) cùng xuất hiện trong một phương trình, bạn đạo hàm hai vế theo (x) và gắn (y’) cho mọi hạng chứa (y). Sau đó, bạn gom các hạng có (y’) về một phía để giải (y’) dưới dạng phân thức, đồng thời kiểm tra điều kiện mẫu khác 0 tại điểm xét. Với tham số ((x(t),y(t))), bạn dùng (\frac=\frac{dy/dt}{dx/dt}) và nhớ rằng (dx/dt) không được bằng 0.
Ví dụ mẫu để “ra tay” nhanh
Ví dụ 1: tích có căn
Xét (y=(2x-1)\sqrt) với (x>0). Bạn đổi (\sqrt) thành (x^{1/2}) rồi áp dụng quy tắc tích, trong đó ((x^{1/2})’=\frac{1}{2\sqrt}). Khi rút gọn, bạn nên đưa về mẫu chung theo (\sqrt) để dễ xét dấu ở các bước tiếp theo.
Ví dụ 2: lượng giác hợp hàm
Cho (y=\sin(3x-2)). Bạn đặt (u=3x-2) và dùng ((\sin u)’=\cos u\cdot u’) để được (y’=3\cos(3x-2)). Cách kiểm tra nhanh là nhìn hệ số 3: nếu quên (u’), kết quả sẽ thiếu hệ số này ngay tại Anh Lộc.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm tra
Checklist trước khi chốt đáp án
Bảng Đạo Hàm sẽ phát huy hiệu quả nhất khi bạn luôn kiểm tra ba điểm: miền xác định, dấu âm ở các công thức dễ nhầm, và nhân tử (u'(x)) trong hợp hàm. Bạn có thể thử một giá trị (x) đơn giản trong miền xác định để so sánh dấu của (y’) với cảm nhận biến thiên của (y), từ đó phát hiện lỗi sớm. Nếu bài yêu cầu nghiệm từ (y’=0), hãy đối chiếu nghiệm với điều kiện ban đầu để loại nghiệm ngoại lai do mẫu bằng 0 hoặc (\ln) không xác định.
Trâm Anh là tác giả chính của trang web Xe Máy Anh Lộc . Với ngòi bút sắc sảo và am hiểu sâu về xe máy, cô chuyên viết review chi tiết, đánh giá xe cũ, hướng dẫn mua bán, tập trung vào các dòng tay ga phổ biến như Honda SH, Air Blade, Liberty. Nội dung thực tế, hữu ích, giúp người đọc đưa ra quyết định sáng suốt.