Bảng nguyên hàm là “vũ khí” quan trọng nhất khi học giải tích, vì hầu hết bài toán tích phân đều bắt đầu từ việc nhận dạng dạng hàm quen thuộc. Khi nắm vững công thức và biết cách biến đổi, bạn sẽ giải nhanh hơn, hạn chế sai sót dấu và hệ số. Bài viết này tổng hợp các công thức cần nhớ, kèm ví dụ và mẹo học dễ áp dụng.
Bảng nguyên hàm cơ bản cần thuộc
Các công thức dưới đây thường xuất hiện liên tục trong bài kiểm tra và đề thi, nên bạn cần nhớ chắc để làm nhanh. Khi ghi nhớ, hãy chú ý hệ số phía trước và điều kiện của biến để tránh nhầm lẫn. Nếu gặp biểu thức “khó nhìn”, hãy nghĩ tới bước biến đổi về đúng dạng quen thuộc.
Nhóm hàm lũy thừa và hằng số
Với dạng lũy thừa, nguyên tắc quan trọng là “tăng số mũ lên 1 rồi chia cho số mũ mới”. Với hằng số, bạn có thể hiểu đơn giản là lấy hằng số nhân với x. Chỉ cần cẩn thận với trường hợp đặc biệt n = -1, vì khi đó công thức chuyển sang logarit.
- ∫ k dx = kx + C
- ∫ xn dx = x(n+1)/(n+1) + C, (n ≠ -1)
- ∫ 1/x dx = ln|x| + C
Nhóm hàm mũ và logarit
Hàm mũ có đặc điểm đạo hàm gần như “giữ nguyên”, vì vậy nguyên hàm của nó cũng rất gọn. Với cơ số a (a>0, a≠1), bạn nhớ thêm mẫu số ln a. Dạng e^x là trường hợp đặc biệt vì ln e = 1, nên càng dễ dùng.
- ∫ ex dx = ex + C
- ∫ ax dx = ax/ln a + C
Nhóm lượng giác cơ bản
Lượng giác là phần dễ nhầm nhất vì có nhiều cặp sin–cos và dấu trừ. Bạn nên học theo cặp: sin đi với -cos, còn cos đi với sin. Khi làm bài, hãy kiểm tra lại bằng cách đạo hàm nhanh để chắc chắn đúng dấu.
- ∫ sin x dx = -cos x + C
- ∫ cos x dx = sin x + C
- ∫ 1/cos^2 x dx = tan x + C
- ∫ 1/sin^2 x dx = -cot x + C
Bảng nguyên hàm các dạng thường gặp trong đề
Ngoài công thức “đẹp” ở phần cơ bản, đề thi còn hay dùng các biểu thức có mẫu bậc nhất hoặc dạng tổng bình phương. Bạn không nhất thiết phải học quá nhiều công thức rời rạc, mà nên nhớ “dạng chuẩn” để nhận ra ngay. Sau đó áp dụng biến đổi hoặc đặt ẩn để đưa về đúng mẫu.
Dạng bậc nhất trong mẫu hoặc trong mũ
Khi gặp ax+b trong biểu thức, bạn thường phải chia thêm cho a để bù hệ số. Đây là lý do nhiều bạn làm đúng dạng nhưng sai đáp án vì thiếu 1/a. Thói quen tốt là nhìn thấy ax+b thì lập tức nghĩ “có hệ số a”.
- ∫ 1/(ax+b) dx = (1/a) ln|ax+b| + C
- ∫ e^(ax+b) dx = (1/a) e^(ax+b) + C
- ∫ a^(ax+b) dx = a^(ax+b)/(a ln a) + C
Dạng 1/(x2 + a2) và 1/√(a2 – x2)
Hai dạng này liên quan chặt tới arctan và arcsin. Cách nhớ nhanh là: “x2 + a2” đi với arctan, còn “a2 – x2” đi với arcsin. Khi làm bài, bạn nên kiểm tra điều kiện a>0 và để ý dấu trong căn.
- ∫ 1/(x2 + a2) dx = (1/a) arctan(x/a) + C
- ∫ 1/√(a2 – x2) dx = arcsin(x/a) + C
Dạng √(x2 + a2) và √(x2 – a2)
Các dạng có căn thường xuất hiện trong bài nâng cao, và đôi khi cần phối hợp biến đổi hoặc phương pháp đặt ẩn lượng giác. Dù vậy, ở mức ôn thi phổ thông, bạn hay gặp phiên bản đã “đưa về” dạng chuẩn với hệ số rõ ràng. Nếu thấy khó nhận dạng, hãy thử đặt x = a tan t hoặc x = a sec t để biến căn thành biểu thức đơn giản hơn.
- ∫ 1/√(x2 + a2) dx = ln|x + √(x2 + a2)| + C
- ∫ 1/√(x2 – a2) dx = ln|x + √(x2 – a2)| + C
Cách dùng bảng nguyên hàm để giải bài nhanh
Chỉ thuộc công thức là chưa đủ, vì đề thường “ngụy trang” bằng cách đổi biến, đặt hệ số hoặc trộn nhiều hạng tử. Bạn nên luyện thói quen nhìn cấu trúc, tách biểu thức và đưa về dạng chuẩn trước. Khi làm đều tay, bạn sẽ thấy hầu hết bài tích phân cơ bản chỉ là ghép vài công thức quen thuộc.
Nhận dạng dạng hàm trước khi tính
Trước khi bấm bút tính, hãy đọc biểu thức và tự hỏi: nó giống lũy thừa, mũ, hay lượng giác? Nếu có ax+b, bạn dự đoán sẽ cần chia cho a ở cuối. Nếu là phân thức, hãy xem mẫu có thể tách thành dạng 1/(ax+b) hoặc 1/(x2+a2) không.
Ví dụ: ∫ (3x2 – 4) dx.
Bạn tách thành ∫ 3x2 dx – ∫ 4 dx, sau đó áp dụng công thức lũy thừa và hằng số để ra kết quả nhanh.
Luôn kiểm tra bằng đạo hàm
Sau khi tìm được kết quả, hãy đạo hàm lại trong 5–10 giây để xác nhận. Cách này giúp phát hiện lỗi dấu, thiếu hệ số hoặc nhầm dạng logarit. Thói quen kiểm tra đặc biệt hữu ích khi bạn làm bài trắc nghiệm, vì sai một chi tiết nhỏ sẽ lệch hoàn toàn đáp án.
Ví dụ: Nếu bạn ra F(x) = (1/3)(ax+b)^3 + C, hãy đạo hàm xem có đúng bằng (ax+b)^2 hay chưa. Nếu thiếu hệ số a, bạn sẽ phát hiện ngay và sửa kịp.
Mẹo ghi nhớ và học thuộc hiệu quả
Học công thức mà không có “móc nối” sẽ rất dễ quên, nhất là khi lượng giác và logarit nhiều dạng. Bạn nên nhóm công thức theo chủ đề và học theo cặp đối xứng. Ngoài ra, hãy luyện mỗi ngày vài bài ngắn để công thức trở thành phản xạ.
Học theo cặp và theo “dạng chuẩn”
Với lượng giác, bạn ghi theo cặp sin–cos để nhớ dấu trừ. Với phân thức, bạn nhớ “1/(x2+a2) là arctan” và “1/√(a2-x2) là arcsin”. Khi đã thuộc dạng chuẩn, mọi biến thể chỉ còn là chuyện đưa về đúng mẫu.
Bạn cũng có thể tự viết một tờ tổng hợp công thức và dán ở góc học tập. Mỗi lần làm bài, hãy đối chiếu để tránh “học vẹt” sai.
Luyện biến đổi trước khi bấm công thức
Nhiều bạn sai không phải vì không thuộc, mà vì không đưa biểu thức về dạng quen thuộc. Hãy luyện kỹ việc đặt nhân tử chung, tách hạng tử, hoặc đổi biến đơn giản. Khi biến đổi tốt, bạn sẽ thấy tích phân dễ hơn rất nhiều và ít bị “mắc bẫy”.
Ví dụ: ∫ 2x/(x2+1) dx.
Bạn nhận ra đạo hàm của x2+1 là 2x, nên kết quả sẽ là ln(x^2+1) + C, rất nhanh và gọn.
Lưu ý quan trọng khi làm nguyên hàm
Trong mọi bài, bạn luôn phải thêm hằng số C. Đây là lỗi phổ biến khiến bài tự luận bị trừ điểm đáng tiếc. Ngoài ra, bạn cần cẩn thận với điều kiện của ln|x| và các biểu thức có giá trị tuyệt đối.
Khi gặp biểu thức có tham số, bạn nhớ điều kiện a>0 với các công thức liên quan đến a^2 hoặc căn thức. Làm đúng từ đầu sẽ giúp bạn tránh rối ở bước biến đổi và trình bày cùng xe may anh loc.
Kết luận
Bảng nguyên hàm không chỉ là danh sách công thức để học thuộc, mà là công cụ để bạn nhận dạng và giải bài nhanh. Khi kết hợp thuộc công thức với kỹ năng biến đổi, bạn sẽ xử lý hầu hết dạng tích phân cơ bản một cách tự tin. Hãy luyện đều mỗi ngày, kiểm tra bằng đạo hàm, và bạn sẽ thấy phần này “dễ thở” hơn rất nhiều.
Trâm Anh là tác giả chính của trang web Xe Máy Anh Lộc . Với ngòi bút sắc sảo và am hiểu sâu về xe máy, cô chuyên viết review chi tiết, đánh giá xe cũ, hướng dẫn mua bán, tập trung vào các dòng tay ga phổ biến như Honda SH, Air Blade, Liberty. Nội dung thực tế, hữu ích, giúp người đọc đưa ra quyết định sáng suốt.